Double Squares

A double-square number is an integer X which can be expressed as the sum of two perfect squares. For example, 10 is a double-square because 10 = 3*3 + 1*1. Your task in this problem is, given X, determine the number of ways in which it can be written as the sum of two squares. For example, 10 can only be written as 3*3 + 1*1 (we don’t count 1*1 + 3*3 as being different). On the other hand, 25 can be written as 5*5 + 0*0 or as 4*4 + 3*3.

Input

You should first read an integer N, the number of test cases. The next N lines will contain N values of X.

Constraints

0 ≤ X ≤ 2147483647

1 ≤ N ≤ 100

Output

For each value of X, you should output the number of ways to write X as the sum of two squares.

Example Input:

5
10
25
3
0
1

Example Output:

1
2
0
1
1

Analysis

This problem was taken from the qualification round of the Facebook Hacker Cup 2010. Basically, this problem itself does not require any special knowledge nor any advanced programming technique to get to a solution. It’s rather simple and can be solved even by brute force taking time complexity only of O(N) * O(X) which is already good enough.

Here is one with brute force that people could think of at the first glance:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

int count_ss(long n){
    int count = 0;
    long max_x = (long) sqrt(n / 2);
    for (long x = 0; x <= max_x ; x++) {
        double y = sqrt(n - x * x);
        if (y == (long) y) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

It is quite short, simple, and comprehensible. Because this function will have to be called, presumably, upon large numbers, it could be improved a bit further by building up a static array of squares at the beginning in order to reduce the calculations. However, under timed environment, particularly on a machine with a low clock speed – every clock cycle is precious, multiplications for computing squares and square roots turn out to be evils. I thus look for an algorithm that can work even better than this version.

Here is my solution I found after spending a couple of hours on optimization:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

int count_ss(long n) {
    int count;
    long ss, x, y;
    count = ss = x = y = 0;
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    while(ss < n) {
        ss += 2 * x + 1;
        x++; 
    } 
    while (x >= y) {
        if (ss < n) { 
            ss += 2 * y + 1; 
            y++; 
        } else if (ss > n) {
            ss -= 2 * x - 1;
            x--;
        } else {
            count++;
            ss += 2 * (y - x + 1);
            y++;
            x--;
        }
    }
    return count;
}

Note that multiplications by two will be optimized further by the compiler by turning them into addition expressions or probably bit shifting. Therefore, the algorithm above will be totally multiplication-free after getting compiled.

• Basic I/O functions (5%)
• Selection structure (20%)
• Repetition structure (20%)
• Arrays and strings (20%)
• Functions (10%)
• Programming techniques (25%)

Each question does not require external libraries or any special knowledge except for basic I/O functions. Skillful students should complete both question within only 20 minutes, while some students may take up to an hour.

Q1. Write a program that takes a string as an input, passes the string to a function which swaps the first 2 vowels of the string, and then prints the result as the output. The input string is assumed to consist only of lower-case letters and have its length of less than 32 characters. The program, however, must meet the following specifications:

1. The function takes a string as an argument and does not return any value.
2. The function swaps only the first 2 vowels of the string if 2 or more presented; the string remains unchanged otherwise.
3. The function should not print any message.
4. The input and the output must be taken and printed only in the main program.

The followings are expected outputs:

Test case #1

Enter a string:  demo
Output:  dome

Test case #2

Enter a string:  print
Output:  print

Q2. Write a program that takes a string as an input, passes the string to a function which returns the character that most frequently appears in the string, and then prints that character as the output. The input string is assumed to consist only of lower-case letters and have its length of less than 32 characters. The program, however, must meet the following specifications:

1. The function takes a string as an argument and returns a character.
2. The function may return any of the characters if many appear equally but most frequently.
3. The function should not print any message.
4. The input and the output must be taken and printed only in the main program.

The followings are expected outputs:

Test case #1

Enter a string:  macbook
'o' appears most frequently in "macbooK"

Test case #2

Enter a string:  iphone
'e' appears most frequently in "iphone"

1. that involves import to a computer system of forged computer data, either in whole or in part, or false computer data, in a manner that is likely to cause damage to that third party or the public;
2. that involves import to a computer system of false computer data in a manner that is likely to damage the country’s security or cause a public panic;
3. that involves import to a computer system of any computer data related with an offence against the Kingdom’s security under the Criminal Code;
4. that involves import to a computer system of any computer data of a pornographic nature that is publicly accessible;
5. that involves the dissemination or forwarding of computer data already known to be computer data under (1) (2) (3) or (4);

The followings are expected outputs:

search(“This is a book”, “book”); // returns true
search(“This is a book”, “books”); // returns false
search(“This is a book”, “t*is a”); // returns true
search(“This is a book”, “is*his*oo”); // returns false
search(“This is a book”, “th*s*ok”); // returns true

Your solution:

I encourage you to get your hands dirty a bit before scrolling down to see my solution. Please do not concern with the performance issue for now.

.
.
.
.

My solution:

When encountering such a kind of problems, people will first think of using loops (particularly nested loops) in their solution. From another point of view, I would like to introduce a solution using functional recursion without using a single loop.

1
2
3
4
5
6
7
8

 bool search(char *text, char *word, bool det = false){
    return *word  == '\0' ? true :
           *text == '\0' ? false :
           det == false || *word == '*' ?
              search(text, word+1, true) ||
              search(text+1, word) :
           *text == *word && search(text+1, word+1, true);
}

Note that this problem indirectly involves non-determinism which may not be solved with ease. Many problem solvers usually end up with complicated solutions and may not work for all test cases.

Any comments are welcome.

บทนำ

ความจริงแล้วภาษาไทยมีรากศัพท์จำนวนไม่น้อยที่มาจากภาษาบาลี (หรือภาษาแห่งแคว้นมคธ) เช่น จิต รัฐ เขต ทำให้คนไทยพอจะเข้าใจหรือพอจะเดาความหมายของคำศัพท์ในพุทธศาสนาได้หลายคำ ซึ่งจะนับว่าเป็นสิ่งดีก็ใช่ แต่เชื่อหรือไม่ เพราะการที่ภาษาไทยได้ยืมรากศัพท์จากบาลีนี้เอง กลับเป็นปัจจัยหนึ่งที่ทำให้คนไทยส่วนใหญ่ไม่เข้าใจพุทธศาสนา เพราะเรายืมศัพท์บาลีมาใช้แบบไม่รู้ความหมายที่แท้จริง และภาษาก็มีการเปลี่ยนแปลงไปตามสภาพสังคม เกิดมีความหมายใหม่ หรือเปลี่ยนไปจากเดิม ตัวอย่างที่เห็นได้ชัด เช่น คำว่า “วิญญาณ” ความเข้าใจของคนส่วนใหญ่จะหมายถึง  “ผี” พอไปอ่านหนังสือพุทธศาสนาแล้วเจอคำนี้ ก็เข้าใจว่าหมายถึง “ผี” ถ้าคนที่เชื่อก็งมงายไปว่าสิ่งที่กล่าวถึงนั้นเป็นผีเป็นสาง ทั้งๆที่พุทธศาสนาเป็น asoulism ถ้าคนที่ไม่เชื่อก็หมดศรัทธากันไป เพราะว่ามันเป็นสิ่งที่ยังพิสูจน์ไม่ได้ในทางวิทยาศาสตร์ แต่แท้จริงแล้วคำว่า “วิญญาณ” นั้นหมายถึง ภาวะรับรู้ ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า consciousness ซึ่งยอมรับได้ว่าเป็นภาวะที่มีอยู่จริง (ถึงแม้ตามหลัก neuroscience ก็ยังระบุแน่จัดไม่ได้ว่ามาจากระบบประสาทหรือไม่ นั่นคือ consciousness นี้เป็น material หรือ immaterial กันแน่) แต่ในภาษาไทยจะคุ้นเคยกับ consciousness ด้วยคำว่า “สติ” มากกว่า เช่น ผู้ป่วยยังมีสติอยู่ แต่คำว่า “สติ” เองก็เป็นภาษาบาลีอีกคำหนึ่งที่ให้ความหมายว่า mindfulness ซึ่งภาษาไทยก็ใช้ในความหมายนี้ด้วย นั่นคือคำว่า “สติ” ในภาษาไทยมีความหมายอยู่ถึงสองลักษณะ

กล่าวคือ การอ่านและตีความพุทธพจน์ซึ่งเขียนด้วยภาษาบาลีโดยใช้ความเข้าใจคำศัพท์แบบภาษาไทยนี้เอง ที่เป็นสิ่งที่ทำให้เข้าใจพุทธศาสนาผิดไป เรียกว่า ภาษาไทยเป็นตัวขวางกั้นไม่ให้คนไทยเข้าถึงพุทธศาสนา (หากไม่ศึกษาบาลีโดยตรง) จึงไม่แปลกเลยที่หนังสือแปลเป็นภาษาอังกฤษจะอธิบายพุทธศาสนาได้ดีกว่าภาษาไทยเองเสียอีก

บทเริ่ม

ก่อนจะกล่าวถึงคำแปลบทสวดมนต์ จะขอกล่าวถึงไวยากรณ์หลักๆ ของภาษาบาลีก่อน ซึ่งดังที่ได้กล่าวไปแล้วว่า ผมไม่ใช่นักภาษาศาสตร์ จึงอาจมีความผิดพลาดอยู่บ้าง ไม่มากก็น้อยทั้งในส่วนของไวยากรณ์และรากศัพท์ แต่ที่จะกล่าวนี้เพื่อให้เป็นแนวคิดคร่าวๆว่า เมื่อเห็นตัวบทสวดมนต์แล้ว จะดูความหมายได้อย่างไร ภาษาบาลีมีลักษณะคล้ายบางภาษา คือ มีการผันคำ เช่นคำที่เป็นเอกพจน์ (singular) พหูพจน์ (plural) และยังมีการแบ่งเพศให้คำอีกด้วย โดยการผันคำจะเป็นการเติมเสียงให้ท้ายคำ เช่น รากศัพท์ “นร” (อ่านว่า “นะ ระ”) แปลว่าคน เมื่อเป็นคำเอกพจน์จะลงเสียง “โอ” จึงกลายเป็น “นโร” เมื่อเป็นคำพหูพจน์จะลงเสียง “อา” กลายเป็น “นรา” โดยหลักคร่าวๆ สามารถสรุปโดยย่อได้ดังนี้

๑. คำนามเอกพจน์ ลงท้ายเสียง “โอ” คำนามพหูพจน์ ลงท้ายเสียง “อา”

๒. คำกริยา(ของคำนามหรือสรรพนามบุรุษที่สาม) ถ้าเป็นเอกพจน์ ลงท้ายเสียง “ติ” ถ้าเป็นพหูพจน์ ลงท้ายเสียง “นติ”

๓. คำนามที่ทำหน้าที่เป็นกรรมตรง ถ้าเป็นเอกพจน์ ลงท้ายเสียง “อัง” (คือใช้นิคหิต) ถ้าเป็นพหูพจน์ ลงท้ายเสียง “เอ” โดยจัดเรียงเป็น ประธาน + กรรม + กริยา

ตัวอย่างเช่นคำว่า พุทธะ, พุทโธ, พุทธัง เป็นคำๆ เดียวกันที่ผันตามไวยากรณ์เท่านั้น อย่างไรก็ตาม คำบางคำอาจมีการผันเสียงของรากศัพท์ด้วย เช่น “จิต” และ “เจต” แต่ทั้งสองคำหมายถึง “ใจ” เหมือนกัน หรือเช่นการลงท้าย “นติ” บางครั้งก็ทำให้สับสนในการแยกรากศัพท์ได้ ดังนั้นควรการทำความคุ้นเคยกับกฏไวยากรณ์ไว้บ้าง จะช่วยแยกรากศัพท์ได้ดีขึ้น สำหรับไวยากรณ์คร่าวๆ ข้างต้นที่ต้องระบุไว้ว่าคำกริยาข้างต้น เป็นคำกริยาของคำนามหรือสรรพนามบุรุษที่สามนั้น เพราะหากเป็นคำกริยาของบุรุษที่หนึ่งหรือสอง (คือ I, we, you, ye) จะผันอย่างอื่น (เหมือน is/am/are)  ซึ่งจะไม่กล่างถึงในที่นี้ นอกจากนี้ยังมีเรื่องของผันประโยคตามกาลด้วย ซึ่งจะไม่กล่าวถึงในที่นี้เช่นกัน

บทสรรเสริญพระพุทธคุณ ๙ ประการ

๑. อรหํ

“อรหํ” หรือ “อรหนฺต” มาจากศัพท์เดียวกับคำว่า อรหตฺ ที่แปลว่า วิชาหรือธรรมอันทำให้หลุดพ้นจากกิเลส (กิเลส แปลว่า เครื่องเศร้าหมอง) การผันเป็น “อรหํ” หรือ “อรหนฺต” นี้แปลว่า ผู้สำเร็จวิชา “อรหตฺ” นั่นคือ ผู้ไกลจากกิเลส หรือผู้หลุดพ้น

๒. สมฺมา สมฺพุทฺโธ

“สมฺม” แปลว่า ถูกต้อง ตัวอย่างคำว่า สัมมาทิฏฐิ “ทิฏฐิ” แปลว่า ความเห็น เมื่อรวมกับ “สัมมา” จึงแปลว่า ความเห็นที่ถูกต้อง หรือ right view ส่วนคำว่า “พุทฺธ” แปลว่า รู้แจ้ง, ตื่น ตัวอย่างเช่น คำว่าพระพุทธเจ้า แปลว่า พระผู้รู้ ผู้ตื่น ผู้เบิกบาน คำว่า “โพธิ์” ใน “ต้นโพธิ์” ก็มาผันมาจากคำนี้เช่นเดียวกัน รวมกันแล้ว พระพุทธคุณข้อนี้จึงเป็นการสรรเสริญว่า  “ทรงรู้แจ้งถูกต้อง” ด้วยพระองค์เอง

๓. วิชฺชา จรณ สมฺปนฺโน

“วิชชา” แปลว่า วิชา ปัญญา ความรู้ ตรงข้ามกับคำว่า “อวิชชา” ที่แปลว่า ความไม่รู้ หรือ ignorance “จรณ” แปลว่า การประพฤติ ฝึกตน ส่วนคำว่า  สมฺปนฺ แปลว่า มีพร้อม สมบูรณ์ ข้อนี้จึงเป็นการสรรเสริญว่า  เป็นผู้ถึงพร้อมด้วยความรู้แจ้งและการประพฤติที่ดีงาม

๔. สุคโต

“สุคโต” นี้ก็คำเดียวกับคำว่า “สุคติ” ที่เรามักพูดว่า ไปสู่สุขคติ โดยให้แปลว่า แดนที่ดี หรือไปยังที่ที่ดี เป็นสุข

๕. โลกวิทู

“โลก” อ่านตามบาลีว่า โลกะ หมายถึงโลก, เกี่ยวกับโลก ส่วน วิทฺ ก็รากศัพท์เดียวกับคำว่า เวทฺ หมายถึง วิชา ความรู้ ตัวอย่างเช่น คำว่า “เวทมนตร์”  คำว่า มนตร์ แปลว่า พูด, โปรยคำ รวมกันจึงหมายถึง วิชาของการพูด หรือตัวอย่างคำว่า วิทยาศาสตร์ ก็หมายถึง ศาสตร์แห่งความรู้ สำหรับพระพุทธคุณข้อนี้จึงหมายถึง มีความรู้แจ่มแจ้งในด้านโลก

๖. อนุตฺตโร ปุริสทมฺม สารถิ

“อนุตฺตร” แปลว่า ประเสริฐ, เลิศ   “ปุริสทมฺม” หรือ “ปุริส” ภาษาไทยรับมาเป็นคำว่า บุรุษ ส่วนคำว่า “สารถิ” ก็คุ้นเคยกันอยู่แล้ว แปลว่า คนขับรถ ในที่นี้หมายถึง ผู้นำไป ผู้พาไป รวมกันแล้ว พระพุทธคุณข้อนี้จึงเป็นการสรรเสริญว่า  ทรงเป็นผู้นำพา ชี้แนะหรือแนะนำที่แสนประเสริฐ (ให้หลุดพ้นจากทุกข์)

๗. สตฺถา เทวมนุสฺสานํ

“สตฺถา” แปลว่า ผู้สอน “เทวมนุสฺสานํ” ประกอบด้วยคำว่า “เทว” และ “มนุส” หมายถึงเทวดาและมนุษย์ ข้อนี้จึงเป็นการสรรเสริญว่า ทรงเป็นศาสดาของทั้งมนุษย์และเทวดา

๘. พุทฺโธ

คำนี้เหมือนดังที่แปลไว้แล้วก่อนหน้าแล้ว คือแปลว่า ผู้รู้ ผู้ตื่น ผู้เบิกบาน

๙. ภควา

“ภควา” หรือ “ภควนฺต” แปลว่า ภาค ในที่นี้แปลว่า พระผู้มีพระภาคเจ้า หมายถึงผู้มีบุญอันประเสริฐสุด

บทสรรเสริญพระธรรมคุณ ๖ ประการ

๑. สวากฺขาโต ภควตา ธมฺโม

คำว่า “สวากขาโต” แปลว่า กล่าวไว้ดีแล้ว ตรัสไว้ดีแล้ว “ธัมโม” แปลว่าธรรมะ ธรรมชาติ ความเป็นจริงของธรรมชาติ รวมกันแล้ว พระธรรมคุณข้อนี้จึงเป็นการสรรเสริญว่า  ความเป็นจริงของธรรมชาตินี้ พระผู้มีพระภาคเจ้าตรัสไว้ดีแล้ว

๒. สนฺทิฏฺฐิโก

“ทิฏฐิ” ดังที่กล่าวไว้แล้ว แปลว่า ความเห็น “สัน-” เป็นคำอุปสรรค (prefix) หมายถึง ส่วนตน คำนี้จึงแปลว่าพระธรรมนี้เป็นสิ่งที่เห็นได้ด้วยตาของตน

๓. อกาลิโก

“กาล” แปลว่า เวลา ตัวอย่างเช่น คำว่า “ถูกกาลเทศะ” คำว่า “เทศะ” แปลว่าสถานที่ รวมกันจึงแปลว่า ถูกเวลาและสถานที่ “อ-” เป็นคำอุปสรรค (prefix) แปลว่า ไม่ พระธรรมคุณข้อนี้จึงหมายถึง เป็นจริงทุกเมื่อโดยไม่ขึ้นกับเวลา

๔. เอหิปสสฺโก

ประกอบจากคำว่า “เอหิ” และคำว่า “ปัสสิกะ” คำว่า “เอหิ” นี้แปลว่า ขอให้มาเถิด ตัวอย่างเช่น ประโยค “เอหิ ภิกข อุปสัมปทา” แปลว่า ท่านจงมาเป็นภิกษุเถิด ส่วนคำว่า  “ปัสสิกะ” นี้แปลว่า พิจารณา ตัวอย่างเช่นคำว่า “วิปัสสนา” คำว่า “วิ” นี้แปลว่าวิเศษ  รวมกันจึงแปลว่า การพิจารณาดูอันวิเศษ สำหรับข้อนี้จึงเป็นการสรรเสริญว่า  เป็นสิ่งที่ควรเรียกให้มาดู

๕. โอปนยิโก

“โอปนยิกะ” แปลว่า น้อมเข้ามา หมายถึง เป็นสิ่งที่ควรน้อมเข้ามาในใจตน เข้ามาในใจของผู้ปฏิบัติ

๖. ปจฺจตฺตํ เวทิตพฺโพ วิญฺญูหิ

“ปัจจัตตัง” คำนี้ใช้กันบ่อย เช่นกล่าวว่า ความสุขจากการให้ทานผู้อื่นนี้เป็นปัจจัตตัง คำว่า “ปัจจัตตัง” นี้แปลว่า รู้ได้เฉพาะตน “เวทิตัพโพ” นี้มาจาก “เวทิตะ” แปลว่า ประกาศให้รู้  ตัวอย่างเช่น คำว่า “กตเวทิตา” คำว่า “กต” นี้แปลว่า ซึ่งกระทำแล้ว รวมกันแปลว่า รู้เห็นแล้วว่าได้ทำแล้ว ในที่นี้หมายถึง ได้ทำการอุปการะดูแลบุพการีแล้ว ส่วนคำว่า “วิญญูหิ” มีรากศัพท์มาจาก “วิญญาณ” ที่แปลว่า ภาวะรู้ ภาษาไทยแปลไว้อย่างสละสลวยว่า “วิญญูชน” รวมกันแล้ว พระธรรมคุณข้อนี้จึงกล่าวว่าวิญญูชนพึงรู้เฉพาะตน

บทสรรเสริญพระสังฆคุณ ๙ ประการ

๑. สุปฏิปนฺโน

“ปฏิปันโน” หรือ “ปฏิปันนะ” นี้หมายถึง การปฏิบัติ มีคำว่า “สุ-” เป็นคำอุปสรรค ซึ่งแปลว่า “ดี” รวมกันแล้ว พระสังฆคุณข้อนี้จึงเป็นการสรรเสริญว่า พระสงฆ์เป็นผู้ปฏิบัติดี

๒. อุชุปฏิปนฺโน

คำอุปสรรค “อุชุ-” แปลว่า ตรง รวมแล้วจึงแปลว่า ผู้ปฏิบัติตรง ในที่นี้หมายถึงตรงต่อพระนิพพาน

๓. ญายปฏิปนฺโน

คำอุปสรรค “ญายะ-” แปลว่า ชอบ, ดีงาม รวมแล้วจึงแปลว่า ผู้ปฏิบัติชอบ

๔. สามีจิปฏิปนฺโน

คำอุปสรรค “สามีจิ-” แปลว่า สมควร รวมแล้วจึงแปลว่า ผู้ปฏิบัติสมควร

๕. อาหุเนยฺโย

รากศัพท์เดิมคำว่า “หุนะ” แปลว่า การบรวงสวงบูชา มีคำอุปสรรค “อา-” แปลว่า อย่างเอื้อเฟื้อ รวมแล้วจึงหมายถึง การนับถือเคารพบูชานั่นเอง คือควรแก่การบูชา

๖. ปาหุเนยฺโย

มาจากคำว่า “ปาหุนะ” ที่แปลว่า แขกผู้มาเยือน พระสังฆคุณข้อนี้ เป็นการสรรเสริญว่า เป็นเสมือนแขกผู้มาเยี่ยมเยือน หมายถึง ควรแก่การต้อนรับ

๗. ทักขิเณยฺโย

“ทักษิณา” เป็นคำนี้ที่พบบ่อยและใช้กันบ่อยคำหนึ่ง แปลว่า ของถวายพระในการทำบุญ ข้อนี้เป็นการสรรเสริญว่า ควรแก่การทำบุญ

๘. อญฺชลีกรณีโย

ประกอบจากคำว่า “อัญชลี” และคำว่า “กรณี” คำว่า “อัญชลี” นี้เป็นคำนี้ที่พบบ่อยมากและใช้กันบ่อยอีกคำหนึ่งเหมือนกัน แปลว่า ประนมมือ คือประกบมือไว้ที่หน้าอก ในการกราบพระ ก็เริ่มด้วยกิริยาที่เรียกว่า “อัญชลี”จากนั้นตามด้วย  “วันทา” แปลว่า ไหว้ คือยกขึ้นจรดหน้าผาก คำว่า “นมัสการ” ก็แปลว่า ไหว้ เช่นเดียวกัน ต่อจากกิริยา “วันทา” ก็จบด้วย “อภิวาท” แปลว่า กราบ อย่างไรก็ตาม ทั้ง “อัญชลี” “วันทา” “อภิวาท” และ “นมัสการ” นี้สามารถแปลอย่างกลางๆ ได้คือ นอบน้อม เคารพ หรือเรียกสั้นๆว่า ไหว้  ส่วนคำว่า “กรณี” นี้แปลว่า กิจหรือสิ่งที่พึงทำ พระสังฆคุณข้อนี้จึงเป็นการสรรเสริญว่า ควรแก่การกราบไหว้

๙. อนุตฺตรํ ปุญฺญกฺเขตฺตํ โลกสฺส

ดังที่กล่าวไปแล้ว “อนุตฺตรํ” แปลว่า ประเสริฐ ส่วนคำว่า “ปุญฺญกฺเขตฺตํ” นี้ประกอบด้วยสองคำที่สนธิกันคือ “ปุญฺญ” และ “เขต” คำว่า “ปุญฺญ” เป็นรากศัพท์ของคำว่าบุญในภาษาไทย และคำว่า “เขต” เดิมหมายถึง “ที่นา” เมื่อภาษาไทยรับมาก็แปลว่าเป็นเขตแดน แต่ก็ยังมีความหมายคล้ายกัน รวมแล้วจึงแปลว่า เป็นที่นาอันดีของโลก คือจะปลูกหว่านอะไรก็เป็นผล ซึ่งให้ความหมายเชิงเปรียบเทียบว่า เป็นเนื้อหาบุญของโลก เป็นที่สำหรับบำเพ็ญบุญของศาสนิกชนให้งอกงาม